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跳跃表（skiplist）是一种有序数据结构， 它通过在每个节点中维持多个指向其他节点的指针， 从而达到快速访问节点的目的。

跳跃表支持平均 O(\log N) 最坏 O(N) 复杂度的节点查找， 还可以通过顺序性操作来批量处理节点。

在大部分情况下， 跳跃表的效率可以和平衡树相媲美， 并且因为跳跃表的实现比平衡树要来得更为简单， 所以有不少程序都使用跳跃表来代替平衡树。

Redis 使用跳跃表作为有序集合键的底层实现之一： 如果一个有序集合包含的元素数量比较多， 又或者有序集合中元素的成员（member）是比较长的字符串时， Redis 就会使用跳跃表来作为有序集合键的底层实现。

和链表、字典等数据结构被广泛地应用在 Redis 内部不同， Redis 只在两个地方用到了跳跃表， 一个是实现有序集合键， 另一个是在集群节点中用作内部数据结构， 除此之外， 跳跃表在 Redis 里面没有其他用途。

先看一下维基百科对跳跃表的图示：

从图中可以看到， 跳跃表主要由以下部分构成：

• 表头（head）：负责维护跳跃表的节点指针。
• 跳跃表节点：保存着元素值，以及多个层。
• 层：保存着指向其他元素的指针。高层的指针越过的元素数量大于等于低层的指针，为了提高查找的效率，程序总是从高层先开始访问，然后随着元素值范围的缩小，慢慢降低层次。
• 表尾：全部由 NULL 组成，表示跳跃表的末尾。

跳跃表结构定义

跳跃表的结构体定义在server.h文件中。其中包括跳跃表节点zskiplistNode和跳跃表zskiplist两个结构体。

/* ZSETs use a specialized version of Skiplists */
typedef struct zskiplistNode {
    sds ele;   // 具体成员对象
    double score;   // 成员分值
    struct zskiplistNode *backward;  // 向后索引指针
    struct zskiplistLevel {    // 跳跃表层
        struct zskiplistNode *forward;  // 前向索引指针
        unsigned int span;    // 这一层的跨度
    } level[];
} zskiplistNode;

typedef struct zskiplist {
    struct zskiplistNode *header, *tail;   // 头尾结点
    unsigned long length;    // 总的结点数
    int level;    // 总的层数
} zskiplist;

每次创建一个新跳跃表节点的时候， 程序都根据幂次定律 （power law，越大的数出现的概率越小） 随机生成一个介于 1 和 32 之间的值作为 level 数组的大小， 这个大小就是层的“高度”。

总的层数保存在zskiplist的level参数中， 另外每个节点保存了各自层中的指针以及这一层的跨度。

跳跃表操作

创建跳跃表

/* Create a skiplist node with the specified number of levels.
 * The SDS string 'ele' is referenced by the node after the call. */
 // 创建跳跃表结点
zskiplistNode *zslCreateNode(int level, double score, sds ele) {
    // 开辟内存，根据传入的层数设置大小
    zskiplistNode *zn =
        zmalloc(sizeof(*zn)+level*sizeof(struct zskiplistLevel));
    // 赋值跳跃表结点分值
    zn->score = score;
    // 赋值跳跃表结点对象
    zn->ele = ele;
    return zn;
}

/* 创建跳跃表 */
zskiplist *zslCreate(void) {
    int j;
    zskiplist *zsl;
    // 申请内存
    zsl = zmalloc(sizeof(*zsl));
    // 设置层数为1
    zsl->level = 1;
    // 总的结点数为0
    zsl->length = 0;
    // ZSKIPLIST_MAXLEVEL=32, 头结点，设置最大层数，分值为0， 具体对象为NULL
    zsl->header = zslCreateNode(ZSKIPLIST_MAXLEVEL,0,NULL);
    // 循环设置头结点的每一层的前向指针为NULL，跨度为0
    for (j = 0; j < ZSKIPLIST_MAXLEVEL; j++) {
        zsl->header->level[j].forward = NULL;
        zsl->header->level[j].span = 0;
    }
    // 头结点的后向指针为NULL
    zsl->header->backward = NULL;
    zsl->tail = NULL;
    return zsl;
}

创建跳跃表的时候设置层数为1， 只有一个头结点，头结点保存了最大的层数，同时所有的前向指针都为NULL。

释放整个跳跃表

/* Free the specified skiplist node. The referenced SDS string representation
 * of the element is freed too, unless node->ele is set to NULL before calling
 * this function. */
void zslFreeNode(zskiplistNode *node) {
    sdsfree(node->ele);
    zfree(node);
}

/* 释放整个跳跃表. */
void zslFree(zskiplist *zsl) {
    // 从最底层的level[0]依次遍历，释放
    zskiplistNode *node = zsl->header->level[0].forward, *next;

    zfree(zsl->header);
    // 如果存在后续结点
    while(node) {
        next = node->level[0].forward;
        // 释放结点
        zslFreeNode(node);
        node = next;
    }
    zfree(zsl);
}

跳跃表插入元素

/* Insert a new node in the skiplist. Assumes the element does not already
 * exist (up to the caller to enforce that). The skiplist takes ownership
 * of the passed SDS string 'ele'. */
 // 跳跃表插入元素
zskiplistNode *zslInsert(zskiplist *zsl, double score, sds ele) {
    zskiplistNode *update[ZSKIPLIST_MAXLEVEL], *x;
    unsigned int rank[ZSKIPLIST_MAXLEVEL];
    int i, level;

    serverAssert(!isnan(score));   　// 判断是否为数字
    x = zsl->header;
    // 从最高的level， 也即跨度最大的level开始查找结点
    for (i = zsl->level-1; i >= 0; i--) {
        /* store rank that is crossed to reach the insert position */
        // 当前是否是最高层， 如果是最高层，rank[i]=0，否则，复制上一层的数值
        rank[i] = i == (zsl->level-1) ? 0 : rank[i+1];
        // 如果当前结点的score值小于传入的score 或者 当前score相等，但是结点的对象不相等
        while (x->level[i].forward &&
                (x->level[i].forward->score < score ||
                    (x->level[i].forward->score == score &&
                    sdscmp(x->level[i].forward->ele,ele) < 0)))
        {
            // 将当前一层的跨度加到rank[i]
            rank[i] += x->level[i].span;
            // 在当前层中向前查找
            x = x->level[i].forward;
        }
        // 当前层位于插入位置前的结点x放入update数组
        update[i] = x;
    }
    /* we assume the element is not already inside, since we allow duplicated
     * scores, reinserting the same element should never happen since the
     * caller of zslInsert() should test in the hash table if the element is
     * already inside or not. */
    // 随机生成小于32的层数
    level = zslRandomLevel();
    // 如果生成的层数大于当前的层数
    if (level > zsl->level) {
        for (i = zsl->level; i < level; i++) {
            // 设定rank数组中大于原level层以上的值为0
            // 同时设定update数组大于原level层以上的数据
            rank[i] = 0;
            update[i] = zsl->header;
            update[i]->level[i].span = zsl->length;
        }
        zsl->level = level;
    }
    // 创建层数为level的新结点
    x = zslCreateNode(level,score,ele);
    for (i = 0; i < level; i++) {
        // 将每一层的前置结点的后续结点指向新结点， 同时设置新结点的后续结点
        x->level[i].forward = update[i]->level[i].forward;
        update[i]->level[i].forward = x;

        /* update span covered by update[i] as x is inserted here */
        // 更新每一层的前置结点和新结点的跨度
        x->level[i].span = update[i]->level[i].span - (rank[0] - rank[i]);
        update[i]->level[i].span = (rank[0] - rank[i]) + 1;
    }

    /* increment span for untouched levels */
    for (i = level; i < zsl->level; i++) {
        update[i]->level[i].span++;
    }

    // 根据最低层的前序结点是否是header结点来设置当前新结点的向后指针
    x->backward = (update[0] == zsl->header) ? NULL : update[0];
    if (x->level[0].forward)
        x->level[0].forward->backward = x;
    else
        zsl->tail = x;
    zsl->length++;
    return x;
}

首先看图示，如果想要插入score=5的结点（redis中允许score值重复），那么首选需要找到score=5的结点，查找的顺序为：

从最大的层向后查找，如果当前层后边没有值了，并且当前结点的值小于要找的值，就查找下一层结点；如果下一个结点的值大于要找的值，也会到下一层结点继续查找。

找到对应的位置执行插入操作后，需要为新结点设置层数，那么设置多少层合适呢，这边直接采用了一个随机数。随机数生成了多少层，当前新结点的层数就设置多少层。

如果新层数小于原来的层数，只需要重新设置前序后置结点的指针和跨度就行；如果新层数大于原来的层数，就需要额外设置新的更高的层。

那么插入结点之后，如何修改前序和后置结点的指针和跨度呢。这边用了两个数组来记录，分别是update和rank。update用来记录每一层中插入位置的前序结点，到时候根据这个前序结点设置每一层的指针调整。 rank用来记录每一层到新结点的跨度，插入新结点之后，根据rank数组中记录跨度更新前置结点的跨度值。

删除跳跃表结点

 /* 删除结点，如果结点存在并删除，返回1， 否则返回0
    参数中node如果是空的，则结点确实被删除； 如果非空，只是把结点从链表上摘下来，返回指针给node*/
int zslDelete(zskiplist *zsl, double score, sds ele, zskiplistNode **node) {
    zskiplistNode *update[ZSKIPLIST_MAXLEVEL], *x;
    int i;

    x = zsl->header;
    // 查找对应结点
    for (i = zsl->level-1; i >= 0; i--) {
        while (x->level[i].forward &&
                (x->level[i].forward->score < score ||
                    (x->level[i].forward->score == score &&
                     sdscmp(x->level[i].forward->ele,ele) < 0)))
        {
            x = x->level[i].forward;
        }
        update[i] = x;
    }
    /* We may have multiple elements with the same score, what we need
     * is to find the element with both the right score and object. */
    // 由于允许存在相同的score，需要在score和ele都满足的条件下才能删除
    x = x->level[0].forward;
    if (x && score == x->score && sdscmp(x->ele,ele) == 0) {
        zslDeleteNode(zsl, x, update);
        if (!node)
            zslFreeNode(x);
        else
            *node = x;
        return 1;
    }
    return 0; /* not found */
}

具体的结点删除操作：

/* Internal function used by zslDelete, zslDeleteByScore and zslDeleteByRank */
// update数组保存了所有层上要删除结点的前置结点
void zslDeleteNode(zskiplist *zsl, zskiplistNode *x, zskiplistNode **update) {
    int i;
    for (i = 0; i < zsl->level; i++) {
        if (update[i]->level[i].forward == x) {
            // 如果当前层有指针指向要删除的结点，前置结点的跨度需要加上当前结点的跨度，同时更新指针
            update[i]->level[i].span += x->level[i].span - 1;
            update[i]->level[i].forward = x->level[i].forward;
        } else {
            // 否则，只需要将前置结点的跨度减1即可，因为少了一个结点啊
            update[i]->level[i].span -= 1;
        }
    }
    // 修改backward指针，需要考虑x是否为尾节点
    if (x->level[0].forward) {
        x->level[0].forward->backward = x->backward;
    } else {
        zsl->tail = x->backward;
    }
    while(zsl->level > 1 && zsl->header->level[zsl->level-1].forward == NULL)
        zsl->level--;
    zsl->length--;
}